题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数在区间
上的单调性;
(2)已知函数,若
,且函数
在区间
内有零点,求
的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)先求导数: ,再根据导函数符号是否变化分类讨论:当
时,
,当
时,
,当
时,在区间
上单调递减,在区间
上单调递增.(2)先求函数
导数
,因为
,结合(1)结论得:
,因此
,
,
,由于
,所以
恒成立,解
,
得
的取值范围.
试题解析:解:(1)由题得,所以
.
当时,
,所以
在
上单调递增;
当时,
,所以
在
上单调递减;
当时,令
,得
,
所以函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增.
综上所述,当时,
在
上单调递增;
当时,函数
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增;
当时,所以
在
上单调递减.
(2) ,
,
设为
在区间
内的一个零点,则由
,可知
在区间
上不单调,则
在区间
内存在零点
,同理,
在区间
内存在零点
,所以
在区间
内至少有两个零点.
由(1)知,当时,
在
上单调递增,故
在
内至多有一个零点,不合题意.
当时,
在
上单调递减,故
在
内至多有一个零点,不合题意,所以
,
此时在区间
上单调递减,在区间
上单调递增.
因此, ,
,必有
,
.
由,得
,
.
又,
,解得
.

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