题目内容
【题目】直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=2， 
=λ 
． 
（1）若λ=1，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；
（2）若二面角B1﹣A1C1﹣D的大小为60°，求实数λ的值．
【答案】
（1）解：分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（0，4，2），
当λ=1时，D为BC的中点，∴D（1，2，0），
=（1，﹣2，2）， 
=（0，4，0）， 
=（1，2，﹣2），
设平面A1C1D的法向量为 
=（x，y，z），
则 
，取x=2，
得 =（2，0，1），
又cos＜ 
＞= 
= 
= 
，
∴直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为 ．）
（2）解：∵ 
= 
，∴D（ 
， 
，0），
∴ =（0，4，0）， =（ ， ，﹣2），
设平面A1C1D的法向量为 =（x，y，z），
则 
，取z=1，得 =（λ+1，0，1）．
又平面A1B1C1的一个法向量为 
=（0，0，1），
∵二面角B1﹣A1C1﹣D的大小为60°，
∴|cos＜ 
＞|=| 
|= 
= ，
解得 
或 
（不合题意，舍去），
∴实数λ的值为 
．
【解析】（1）分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值．（2）求出平面A1C1D的法向量和平面A1B1C1的一个法向量，利用向量法能求出实数λ的值．
【考点精析】利用空间角的异面直线所成的角对题目进行判断即可得到答案，需要熟知已知
为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为
，则
．
