题目内容
【题目】化简: =(用m、n表示).
【答案】
【解析】解:设f(x)=(1+x)m+2(1+x)m+1+3(1+x)m+2+…+n(1+x)m+n﹣1…①,
则f(x)中含xm 项的系数为 +2
+3
+…+n
∴(1+x)f(x)=(1+x)m+1+2(1+x)m+2+3(1+x)m+3+…+n(1+x)m+n…②,
①﹣②可得﹣xf(x)=(1+x)m+(1+x)m+1+(1+x)m+2+…+(1+x)m+n﹣1﹣n(1+x)m+n ,
= ﹣n(1+x)m+n ,
∴x2f(x)=(1+x)m﹣(1+x)m+n+nx(1+x)m+n ,
故f(x)中含xm项的系数即 x2f(x)中含xm+2项的系数,
而x2f(x)中含xm+2项的系数为
﹣ +n
=﹣
+
=
=
,
∴Cmm+2Cmm+1+3Cmm+2+…+nCmm+n﹣1= Cm+1m+n(m,n∈N*);
∴ =
.
所以答案是: .
【考点精析】本题主要考查了组合与组合数的公式的相关知识点,需要掌握从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合才能正确解答此题.
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