题目内容
【题目】如图,ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,∠BAD=60°.
(1)求证:平面PBD⊥平面PAC;
(2)求点A到平面PBD的距离;
(3)求二面角A﹣PB﹣D的余弦值.
【答案】
(1)证明:设AC与BD交于O点
∵ABCD是菱形,∴AC⊥BD
以OA、OB所在直线分别x轴,y轴.以过O且垂直平面ABCD的直线为z轴,建立如图的空间直角坐标系,
则
∵
∴
∴DB⊥AP
∵AC⊥BD,AC∩AP=A
∴DB⊥平面PAC,又DB平面PDB
∴平面PBD⊥平面PAC
(2)解:设平面PDB的法向量为 ,
由 ,∴
令z1=1得
∵
∴点A到平面PBD的距离 =
(3)解:设平面ABP的法向量 ,
∵ ,∴
∴
∴
∴二面角A﹣PB﹣D的余弦值为
【解析】(1)先证明AC⊥BD,再利用向量的方法证明DB⊥AP,从而可得DB⊥平面PAC,利用面面垂直的判定可得面PBD⊥平面PAC;(2)求出平面PDB的法向量为 ,
,从而可求点A到平面PBD的距离;(3)求出平面ABP的法向量
,利用向量的夹角公式,即可求得二面角A﹣PB﹣D的余弦值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识,掌握一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
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