Question

【题目】某工厂的污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理,处理后的污水（A级水）达到环保标准（简称达标）的概率为.经化验检测,若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B系统处理后直接排放.

某厂现有个标准水量的A级水池,分别取样、检测. 多个污水样本检测时,既可以逐个化验,也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有样本不达标,则混合样本的化验结果必不达标.若混合样本不达标,则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标,则原水池的污水直接排放.

现有以下四种方案,

方案一：逐个化验；

方案二：平均分成两组化验；

方案三：三个样本混在一起化验,剩下的一个单独化验；

方案四：混在一起化验.

化验次数的期望值越小,则方案的越“优”.

（Ⅰ） 若,求个A级水样本混合化验结果不达标的概率；

（Ⅱ） 若,现有个A级水样本需要化验,请问：方案一,二,四中哪个最“优”？

（Ⅲ） 若“方案三”比“方案四”更“优”,求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（II）见解析;（III）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据所给相互独立事件重复发生的概率为两相互独立事件概率乘积，及相互独立事件的概率和为，可得结果；（Ⅱ）分别求出三种方案对应分布列，进一步求出各自的期望值，比较期望值大小得最优方案；（Ⅲ）分别求出期望值，利用期望大小关系建立关于的不等式，解得的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）该混合样本达标的概率是； 2分

所以根据对立事件原理，不达标的概率为．

（II）方案一：逐个检测，检测次数为．

方案二：由（I）知，每组两个样本的检测时，若达标则检测次数为，概率为；若不达标则检测次数为，概率为． 故方案二的检测次数， 可能取， ， ．概率分布列如下，

可求得方案二的期望为，

方案四：混在一起检测，记检测次数为， 可取， ．概率分布列如下，

可求得方案四的期望为．

比较可得，故选择方案四最“优”．

（III）解：方案三：设化验次数， 可取， ．

；

方案四：设化验次数， 可取， ．

；

由题意得 ．

故当时，方案三比方案四更“优”．