题目内容

已知函数f(x)=ln(1+x2)+ax(a≤0).
(1)若f(x)在x=0处取得极值,求a的值;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)证明:(1+
1
4
)(1+
1
16
)…(1+
1
4n
)<e1-
1
2n
(n∈N*,e为自然对数的底数)
(1)f′(x)=
2x
1+x2
+a,
∵x=0是f(x)的一个极值点,∴f′(0)=0,
∴a=0
∵x<0,f′(x)<0;x>0,f′(x)>0
∴a=0符合条件…(3分)
(2)f′(x)=
2x
1+x2
+a=
ax2+2x+a
1+x2
.…(4分)
①若a=0时,由(1)知,f(x)在(0,+∞)单调递增,在(-∞,0)单调递减;…(5分)
②若
a<0
△≤0
,即当a≤-1时,f'(x)≤0对x∈R恒成立.
∴f(x)在(-∞,+∞)上单调递减.…(6分)
③若当-1<a<0时,由f'(x)>0得ax2+2x+a>0,∴
-1+
1-a2
a
<x<
-1-
1-a2
a

再令f'(x)<0可得x>
-1-
1-a2
a
或x<
-1+
1-a2
a

∴f(x)在(
-1+
1-a2
a
-1-
1-a2
a
)上单调递增,在(-∞,
-1+
1-a2
a
),(
-1-
1-a2
a
,+∞)上单调递减.…(9分)
(3)证明:由(2)知,当a=-1时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递减;
当x∈(0,+∞)时,由f(x)=ln(1+x2)-x<f(0)=0,∴ln(1+x2)<x
ln[(1+
1
4
)(1+
1
16
)…(1+
1
4n
)]=ln(1+
1
2
)+ln(1+
1
22
)+…+ln(1+
1
2n
)
1
2
+
1
22
+…+
1
2n
=
1
2
(1-
1
2n
)
1-
1
2
=1-
1
2n

(1+
1
4
)(1+
1
16
)…(1+
1
4n
)<e1-
1
2n
.…(14分)
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