Question

15．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右准线与x轴交于点A，点B的坐标为（0，a），若椭圆上的点M满足$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{AM}$，则椭圆C的离心率值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 设A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，0），M（m，n），运用向量共线的坐标表示，可得m=$\frac{2{a}^{2}}{3c}$，n=$\frac{1}{3}$a，代入椭圆方程，结合离心率公式，解方程可得所求值．

解答 解：设A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，0），M（m，n），又B（0，a），
由$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{AM}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{a}^{2}}{c}=3（m-\frac{{a}^{2}}{c}）}\\{a=3n}\end{array}\right.$，
即为m=$\frac{2{a}^{2}}{3c}$，n=$\frac{1}{3}$a，
将M（m，n）代入椭圆方程，可得$\frac{4{a}^{2}}{9{c}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{9{b}^{2}}$=1，
由e=$\frac{c}{a}$，b²=a²-c²，
可得$\frac{4}{9{e}^{2}}$+$\frac{1}{9（1-{e}^{2}）}$=1，
化简可得（3e²-2）²=0，解得e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查向量的共线的坐标表示，考查化简整理的运算求解能力，属于中档题．