题目内容
【题目】
已知
， 
，函数
.
（Ⅰ）当
， 
时，解关于
的不等式
；
（Ⅱ）若函数
的最大值为2，求证： 
.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）见解析
【解析】试题分析：
(Ⅰ)由题意可得
.零点分段求解不等式可得不等式的解集为
；
(Ⅱ)由绝对值三角不等式可得
，则
.由均值不等式的结论可得
，当且仅当
时，等号成立.
证法二：由题意可得
，零点分段可得
，结合函数图像可得
.由题意结合均值不等式的结论即可证得题中的结论.
试题解析：
（Ⅰ）当
时， 
.
不等式
为
.
①当
时，因为不等式为
，所以不等式成立，
此时符合；符合要求的不等式的解集为
；
②当
时，因为不等式为
，所以
，
此时，符合不等式的解集为
；
③当
时，因为不等式为
不成立，解集为空集；
综上所述，不等式
的解集为
.
（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得
， 
， 
∴
.
∴
，
当且仅当
时，等号成立.
另解：（Ⅱ）因为
， 
，所以
，
所以函数
，
所以函数
的图象是左右两条平行于
轴的射线和中间连结成的线段，
所以函数的最大值等于
，所以
.
∵
，
∴
.
或者
，
当且仅当
，即
时，“等号”成立.
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根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级 :
学习时间 (分钟/天) |
|
|
|
等级 | 一般 | 爱好 | 痴迷 |
(Ⅰ) 求
的值；
(Ⅱ) 从该大学的学生中随机选出一人，试估计其“爱好”中华诗词的概率；
(Ⅲ) 假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试估计样本中40名学生每人每天学习“中华诗词”的时间．
