题目内容
【题目】如图，四边形ABCD是正方形，PD//MA，MA⊥AD，PM⊥平面CDM，MA=AD
PD=1.
（1）求证：平面ABCD⊥平面AMPD；
（2）求三棱锥A﹣CMP的高.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）利用线面垂直的性质定理可得PM⊥CD，根据正方形的性质可得CD⊥AD，再利用线面、面面垂直的垂直的判定定理即可证出.
（2）利用等体法VA﹣CMP=VC﹣AMP，结合三棱锥的体积公式即可求出.
（1）∵PM⊥平面CDM，且CD平面CDM，∴PM⊥CD，
又∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，
在梯形AMPD中，PM与AD相交，
∴CD⊥平面AMPD，
又∵CD平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面AMPD；
（2）设三棱锥A﹣CMP的高为h，
由（1）知CD⊥平面AMPD，且PM⊥平面CDM，
∴PM⊥CM，PM⊥DM，
∵
，
∴
，
，
，
∴
，
；
∵VA﹣CMP=VC﹣AMP，
∴
；
即
h
1，
解得h
；
∴三棱锥A﹣CMP的高为
.
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