题目内容
【题目】设数列的首项
,且
时,
,
,
,
.
(Ⅰ)若,求
,
,
,
.
(Ⅱ)若,证明:
.
(Ⅲ)若,求所有的正整数
,使得对于任意
,均有
成立.
【答案】详见解析
【解析】
试题(I)由a1=a且0<a<1代入得到a2;a2∈(3,4),代入(2)得到a3;a3∈(0,1),代入(1)得a4;a4∈(3,4),代入(2)得到a4;a5∈(0,1),代入(1)所以求得a5;
(II)分两种情况①当0<an≤3时和②当3<an<4得到0<an+1<4得证;
(III)分三种情况若0<a<1;1≤a<2;若a=2,由特殊值得到k的特值,写出k的一般的取值即可.
试题解析:
(Ⅰ)∵得
,∴
,
∵,∴
,
,∴
,
,∴
.
(Ⅱ)证明:①当时,
,∴
,
②当,
,∴
,
综上,时,
.
(Ⅲ)①若,由Ⅰ知
,所以
,
∴ 当时,对所有的
,
成立.
②若,则
,且
,
,∴
,
∴ 当时,对所有的
,
成立,
③若,则
,∴
,
∴ 时,对所有的
,
成立,
综上,若,则
,
,
若,则
,
,
若,则
,
.
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