Question

【题目】已知函数f（x）=logax（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上的最大值与函数g（x）=﹣ 在区间[1，2]上的最大值互为相反数．
（1）求a的值；
（2）若函数F（x）=f（x2﹣mx﹣m）在区间（﹣∞，1﹣ ）上是减函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数g（x）=﹣ 在区间[1，2]上为增函数，

故当x=2时，函数取最大值﹣2，

故函数f（x）=logax（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上的最大值为2，

若0＜a＜1，则当x=1时，f（x）=logax取最大值0，不满足条件；

若a＞1，则当x=2时，f（x）取最大值loga2=2，

解得：a= ，

综上可得：a= ；

（2）解：若函数F（x）=f（x2﹣mx﹣m）在区间（﹣∞，1﹣ ）上是减函数，

则t=x2﹣mx﹣m在区间（﹣∞，1﹣ ）上是减函数，

且x2﹣mx﹣m＞0在区间（﹣∞，1﹣ ）上恒成立，

即 ≥1﹣ 且（1﹣ ）2﹣m（1﹣ ）﹣m≥0，

解得：m∈[2﹣2 ，2]．

【解析】（1）函数g（x）=﹣ 当x=2时，函数取最大值﹣2，故函数f（x）=logax（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上的最大值为2，进而可得a的值；（2）若函数F（x）=f（x2﹣mx﹣m）在区间（﹣∞，1﹣ ）上是减函数，则t=x2﹣mx﹣m在区间（﹣∞，1﹣ ）上是减函数，且x2﹣mx﹣m＞0在区间（﹣∞，1﹣ ）上恒成立，进而得到实数m的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解复合函数单调性的判断方法的相关知识，掌握复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”，以及对函数的最值及其几何意义的理解，了解利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．