Question

4．设有关于x的不等式|x+3|+|x-7|＞a
（1）当a=12时，解此不等式；
（2）当a为何值时，此不等式的解集是R．

Answer 1

分析 （1）不等式即|x+3|+|x-7|＞12，再根据绝对值的几何意义，求得不等式的解集．
（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）=|x+3|+|x-7|的最小值，可得a的范围．

解答 解：（1）当a=12时，化为|x+3|+|x-7|＞12，
而|x+3|+|x-7|表示数轴上的x对应点到-3、7对应点的距离之和，
-4和8对应点到-3、7对应点的距离之和正好等于12，
∴不等式的解集为{x|x＜-4或x＞8}．
（2）设f（x）=|x+3|+|x-7|，则f（x）≥|（x+3）-（x-7）|=10，
当且仅当-3≤x≤7时，f（x）取得最小值10，
要使|x+3|+|x-7|＞a的解集为R，只要a＜10．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．