Question

16．具有性质：f（$\frac{1}{x}$）=-f（x）的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：
（1）f（x）=x-$\frac{1}{x}$；
（2）f（x）=x+$\frac{1}{x}$；
（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，0＜x＜1}\\{0，x=1}\\{-\frac{1}{x}，x＞1}\end{array}\right.$
（4）f（x）=$\frac{1}{x}$ 
（5）f（x）=-x+$\frac{1}{{x}^{2}}$，其中满足“倒负”变换的函数是（1），（3）．．

Answer 1

分析 根据已知中满足“倒负”变换的函数的定义，对于（1）（2）（4）（5）直接用定义验证，对于（3）因其是分段函数，所以应分段验证．

解答 解：对于（1），f（x）=x-$\frac{1}{x}$，f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{x}$-x=-f（x），满足“倒负”变换；
对于（2），f（x）=x+$\frac{1}{x}$，f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{x}$+x=f（x），不满足“倒负”变换；
对于（3），当0＜x＜1时，$\frac{1}{x}$＞1，∴f（$\frac{1}{x}$）=$-\frac{1}{\frac{1}{x}}$=-x=-f（x），当x=1时，f（$\frac{1}{x}$）=0=-f（x），
当x＞1时，0＜$\frac{1}{x}$＜1，
∴f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{x}$=-（-$\frac{1}{x}$）=-f（x），∴满足“倒负”变换．
对于（4），f（x）=$\frac{1}{x}$，f（$\frac{1}{x}$）=x，不满足“倒负”变换；
对于（5）f（x）=-x+$\frac{1}{{x}^{2}}$，f（$\frac{1}{x}$）=-$\frac{1}{x}$+x²，不满足“倒负”变换；
故满足“倒负”变换的函数是（1），（3）．
故答案为：（1），（3）．

点评 本题重点考查新定义的理解，解题的关键是认真了解定义，依据定义来进行运算或判断．