题目内容
【题目】已知函数的定义域为
,且存在实常数
,使得对于定义域内任意
,都有
成立,则称此函数
具有“性质
”
(1)判断函数是否具有“
性质”,若具有“
性质”,则求出
的值;若不具有“
性质”,请说明理由;
(2)已知函数具有“
性质”且函数
在
上的最小值为
;当
时,
,求函数
在区间
上的值域;
(3)已知函数既具有“
性质”,又具有“
性质”,且当
时,
,若函数
,在
恰好存在
个零点,求
的取值范围.
【答案】(1)具有,;(2)
;(3)
【解析】
(1)假设函数具备性质,代入即可求出
的值;
(2)根据题意可知,再根据函数的最小值即可求出
值域;
(3)由题得且
,作出图象,即可求出
的取值范围.
解:(1)假设具有“
性质”,
则恒成立,
等式两边平方整理得,,因为等式恒成立,
所以,解得
;
(2)函数
具有“
性质”则
又当
时,
,在
单调递减
当
时,
得:
,
又得
当时,
,在
单调递增
函数
的最小值
,得:
当
时,
,单调递减
此时的值域为:
(3)既具有“
性质”,即
,则函数
为偶函数,
又既具有“
性质”,即
,
且当时,
作出函数的图象如图所示:
函数
,在
恰好存在
个零点
与
在
恰好有
个交点
且
即
的取值范围为:
.
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