Question

9．若实数a，b，c成等差数列，点P（-3，2）在动直线ax+by+c=0上的射影为H，点Q（3，3），则线段QH的最大值为$5+2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由a，b，c成等差数列，得出直线ax+by+c=0过定点；再根据点P在直线ax+by+c=0上的射影得出∠PHA=90°，
即H在以PA为直径的圆上，画出图形，结合图形求出线段QH的最大值．

解答 解：∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，即a-2b+c=0，
∴直线ax+by+c=0恒过A（1，-2）；
又点P（-3，2）在动直线ax+by+c=0上的射影为H，
∴∠PHA=90°，
∴H在以PA为直径的圆上，如图所示；
且此圆的圆心B的坐标为（$\frac{-3+1}{2}$，$\frac{2-2}{2}$），即B（-1，0），
半径r=$\frac{1}{2}$|PA|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{（1+3）}^{2}{+（-2-2）}^{2}}$=2$\sqrt{2}$；
又Q（3，3），
∴|BQ|=$\sqrt{{（3+1）}^{2}{+3}^{2}}$=5，
∴|QH|_max=5+2$\sqrt{2}$，即线段QH的最大值为5+2$\sqrt{2}$．
故答案为：5+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了等差数列的性质与直线直线和圆的应用问题，解题时利用等差数列的性质得到直线过定点是突破点，是综合性题目．