题目内容
18.已知x、y为正实数,且2x+y=1,则$\frac{y}{x}+\frac{1}{y}$的最小值为$2\sqrt{2}+1$.分析 x、y为正实数,且2x+y=1,变形x=$\frac{1-y}{2}$>0,解得0<y<1.可得$\frac{y}{x}+\frac{1}{y}$=$\frac{2y}{1-y}+\frac{1}{y}$=-2+$\frac{2}{1-y}$+$\frac{1}{y}$=f(y),再利用导数研究其单调性极值与最值即可得出.
解答 解:∵x、y为正实数,且2x+y=1,
∴x=$\frac{1-y}{2}$>0,解得0<y<1.
∴$\frac{y}{x}+\frac{1}{y}$=$\frac{2y}{1-y}+\frac{1}{y}$=-2+$\frac{2}{1-y}$+$\frac{1}{y}$=f(y),
f′(y)=$\frac{2}{(1-y)^{2}}$-$\frac{1}{{y}^{2}}$=$\frac{{y}^{2}+2y-1}{(y-{y}^{2})^{2}}$=$\frac{(y+1+\sqrt{2})[y-(\sqrt{2}-1)]}{(y-{y}^{2})^{2}}$,
可知:当y=$\sqrt{2}$-1时,函数f(y)取得极小值即最小值,
$f(\sqrt{2}-1)$=$2\sqrt{2}+1$.
故答案为:$2\sqrt{2}+1$.
点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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