题目内容

已知函数.
(1)当时,指出的单调递减区间和奇偶性(不需说明理由);
(2)当时,求函数的零点;
(3)若对任何不等式恒成立,求实数的取值范围。

(1)递减区间为,函数既不是奇函数也不是偶函数;(2);(3)

解析试题分析:(1)时,作出函数的图象,如下图,即可得出结论.

(2)实际上就是解方程,只不过在解题时,首先要分类讨论(分),其次还要注意的是,否则会得出错误结果;本题也可由求出方程的正的零点(这可利用(1)的结论很快解决),然后令等于这些值,就可求出;(3)不等式恒成立求参数取值范围问题,一般把问题转化如转化为求函数的值域(或最值)或者利用不等式的性质,本题参数可以分离,在时,不论取何值,不等式都成立,在时,可转化为,即,下面只要求出的最大值和的最小值.
试题解析:1)当时,函数的单调递减区间为(2分)
函数既不是奇函数也不是偶函数(4分)
(2)当,(1分)
  (2分)
(4分)
解得  (5分)
所以  (6分)
(3)当时,取任意实数,不等式恒成立,
故只需考虑,此时原不等式变为 (1分)

   (2分)
又函数上单调递增, (3分)
函数上单调递减,在上单调递增,(4分)
;(5分)
所以,即实数的取值范围是 (6分)
考点:(1)函数单调区间与奇偶性;(2)解超越方程;(3)不等式恒成立问题.

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