Question

已知定义域为R的函数f(x)=

-2x+b

2x+1+a

是奇函数，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）若对于任意的t∈R，不等式f（mt²-2t）+f（1-t²）＜0恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是R上的奇函数，得f（0）=0，且f（-1）=-f（1）；代入f（x）可得a、b的值；
（2）由f（x）的解析式，用单调性定义可以证明f（x）是定义域上的减函数；
（3）由f（mt²-2t）+f（1-t²）＜0，可得f（mt²-2t）＜-f（1-t²）；
由f（x）是奇函数，得-f（1-t²）=f（t²-1），从而得f（mt²-2t）＜f（t²-1）；
由f（x）是减函数，得mt²-2t＜t²-1恒成立，解得m的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，且f（-1）=-f（1）；
即

-1+b

2+a

=0，且

- 1 2 +b

1+a

=-

-2+b

4+a

；
解得a=2，b=1；
∴f（x）的解析式为f（x）=

-2x+1

2x+1+2

；
（2）∵f（x）=

-2x+1

2x+1+2

，
∴f（x）=-

2x-1

2(2x+1)

=

1

2x+1

-

1

2

是R上的减函数；
证明如下：在R上任取x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（

1

2x1+1

-

1

2

）-（

1

2x2+1

-

1

2

）=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

；
∵x₁＜x₂，∴2x2-2x1＞0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

＞0；即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）R上的减函数；
（3）∵f（mt²-2t）+f（1-t²）＜0恒成立，∴f（mt²-2t）＜-f（1-t²）；
∵f（x）是奇函数，∴-f（1-t²）=f（t²-1），∴f（mt²-2t）＜f（t²-1）；
∴f（mt²-2t）＜f（t²-1），
又∵f（x）是减函数，∴mt²-2t＞t²-1，
即（m-1）t²-2t+1＞0恒成立，
∴

m-1＞0 4-4(m-1)＜0

，解得m＞2；
∴m的取值范围是{m|m＞2}．

点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性的性质和应用，以及不等式恒成立问题，是中档题．