题目内容
【题目】已知函数f(x)=loga(a>0且a≠1)是奇函数,
(1)求实数m的值;
(2)若a=,并且对区间[3,4]上的每一个x的值,不等式f(x)>(
)x+t恒成立,求实数t的取值范围.
(3)当x∈(r,a-2)时,函数f(x)的值域是(1,+∞),求实数a与r的值.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)由已知可得恒成立,求出
后验证定义域得答案;
(2)时,
等价于
,令
,利用单调性求出
在区间
,
上的最小值可得
的范围;
(3)设,则
,然后分
和
两类求解得答案.
解:(1)由f(x)=loga(a>0且a≠1)是奇函数,
得f(-x)+f(x)=loga+loga
=
=0对于定义域内的任意x恒成立,
即,得m2=1,即m=±1.
当m=-1时,原函数化为f(x)=,定义域为{x|x≠1}(舍去),
∴m=1;
(2)a=时,f(x)>(
)x+t等价于f(x)-(
)x>t,
令g(x)=f(x)-()x,
则g(x)在区间[3,4]上递增,,
故t<;
(3)设u=1+,则y=logau,
①当a>1时,∵函数f(x)的值域是(1,+∞),即y>1,
∴u=1+(r<x<a-2)的值域为(a,+∞),
作出函数u=1+(r<x<a-2)的图象,得r=1,且a=1+
,
解得:a=2+;
②当0<a<1时,∵函数f(x)的值域是(1,+∞),即y>1,
∴u=1+(r<x<a-2)的值域为(0,a),
作出函数u=1+(r<x<a-2)的图象,得a-2=-1,解得:a=1,矛盾.
综上,r=1,a=2+.
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