题目内容

在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程是
x=
2
2
t, 
y=
2
2
t+4
2
(t为参数);以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+
π
4
)
.由直线l上的点向圆C引切线,求切线长的最小值.
分析:把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程,可得圆和直线相离.由于直线l上的点到圆C的距离最小值为圆心到直线的距离d=5,可得切线的最小值为
d2-r2

,计算求得结果.
解答:解:把直线l的参数方程
x=
2
2
t, 
y=
2
2
t+4
2
(t为参数)化为普通方程为 x-y+4
2

圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+
π
4
)
,即 ρ2=2ρ•
2
2
cosθ-2ρ•
2
2
sinθ,即 x2+y2=
2
x-
2
y,
(x-
2
2
)
2
+(y+
2
2
)
2
=1,表示以C(
2
2
,-
2
2
)为圆心,半径等于1的圆.
由于圆心C到直线 x-y+4
2
的距离为d=
|
2
2
+
2
2
+4
2
|
2
=5,故圆和直线相离.
要使切线长最小,只有直线l上的点到圆C的距离最小,此时,直线l上的点到圆C的距离最小值为d=5,
故切线的最小值为
d2-r2
=
25-1
=2
6
点评:本题主要考查把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程,直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,属于中档题.
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