题目内容
已知函数
（1）当
时，试讨论函数
的单调性；
（2）证明：对任意的
，有
.
（1）①
时，
在（0,1）是增函数，在
是减函数；
②
时，在（0,1），
是增函数，在
是减函数；
③
时，在
是增函数.
（2）见解析.
解析试题分析：（1）求导数得到
，而后根据两个驻点的大小比较，分以下三种情况讨论.
①时，在（0,1）是增函数，在是减函数；
②时，在（0,1），是增函数，在是减函数；
③时，在是增函数.
（2）注意到时，在是增函数
当
时，有
.从而得到：对任意的
，有
通过构造
，并放缩得到
利用裂项相消法求和，证得不等式。涉及数列问题，往往通过“放缩、求和”转化得到求证不等式.
试题解析：（1）
1分
①时，在（0,1）是增函数，在是减函数； 3分
②时，在（0,1），是增函数，在是减函数； 5分
③时，在是增函数. 6分
（2）由（1）知时，在是增函数
当时，
.
对任意的，有 8分 10分
所以
12分
考点：应用导数研究函数的单调性，应用导数证明不等式，“裂项相消法”求和.
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，
．
为
的导函数，若不等式
在
上有解，求实数
的取值范围；
，对任意的
，不等式
恒成立，求m（m∈Z，m
1）的值．
时，求函数
在
上的极值；
时，
；
.
，
，
.
的最大值；
，总存在
使得
成立，求
的取值范围；
.
的单调区间； 
时，求函数
上的最小值.
，
．
时，求曲线
在点
处的切线方程；
在区间
上是减函数，求
的取值范围．
.
的单调区间；
，
总成立，求实数
的取值范围；
，
，过点
作函数
图象的所有切线，令各切点得横坐标构成数列
，求数列
的值.
的导函数
是二次函数，当
时，
.
有两个零点，求实数
的取值范围；
，若存在实数
，使得
，求
的取值范围.
，其中
为常数。
时，判断函数
在定义域上的单调性；