题目内容

已知函数的导函数是二次函数,当时,有极值,且极大值为2,.
(1)求函数的解析式;
(2)有两个零点,求实数的取值范围;
(3)设函数,若存在实数,使得,求的取值范围.

(1);(2);(3).

解析试题分析:(1)先通过函数的导函数是二次函数,且当时,有极值将函数的导函数设出来:.从而可设,其中为常数.再由极大值为2及求出.注意,极大值为2,即时,函数值为2.结合正好可以将其中一种情况舍去,从而解出,于是得到函数的解析式;(2)由列出表格,分析函数的单调性和极值.有两个零点,即方程有两个根,而,即方程与方程各只有一个解.结合函数的单调性和极值,发现方程只有当时才只有一个解.所以有,从而解得;(3)由于存在实数,使得,也就是说,否则就不存在实数,使得.因此本题转化为求上的最大值与最小值.根据条件可得,所以其导函数.然后讨论的范围以得到上单调性,从而找出最值.再通过不等式得到的取值范围.注意当时比较麻烦,上先减后增,,而最大值无法确定是中的哪一个,所以我们用来表示不等式.
试题解析:(1)由条件,可设,则,其中为常数.
因为极大值为2.所以,即.由①.所以,即②.由①②可得,.所以.
(2)由(1),得,即.列表:



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