Question

【题目】定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）f（b），
（1）求f（0）的值；
（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）判断f（x）的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为对任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）f（b），所以令a=b=0，则有f（0）=f（0）f（0），又f（0）≠0，所以f（0）=1
（2）证明：当x＞0时，f（x）＞1，当x=0时，f（0）=1，所以只需证明当x＜0时，f（x）＞0即可．

当x＜0时，﹣x＞0，f（0）=f（x）f（﹣x），因为f（﹣x）＞1，所以0＜f（x）＜1，

故对任意的x∈R，恒有f（x）＞0

（3）是增函数，证明如下

设x1＜x2，则x2﹣x1＞0，

f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1+x1）﹣f（x1）=f（x2﹣x1）f（x1）﹣f（x1）=[f（x2﹣x1）﹣1]f（x1），

由题意知f（x2﹣x1）＞1，f（x1）＞0，所以f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）．

所以f（x）在R上为增函数

【解析】（1）利用赋值思想即可得到结论；（2）由于当x＞0时，f（x）＞1，当x=0时，f（0）=1，当x＜0时，﹣x＞0，f（0）=f（x）f（﹣x），利用互为倒数可知，结论成立；（3）利用单调性的定义，作差，然后判定与零的大小关系得到，注意结合题中的关系式的变换得到．
【考点精析】掌握函数单调性的判断方法和函数的奇偶性是解答本题的根本，需要知道单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．