Question

过抛物线y²=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x=-2的距离之和等于5，则这样的直线（　　）

A．有且仅有一条

B．有且仅有两条

C．有无穷多条

D．不存在

Answer 1

分析：先求出A，B到准线的距离之和的最小值，进而可得A，B到直线x=-2的距离之和的最小值，利用条件可得结论．

解答：解：抛物线y²=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，
设A，B的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则A，B到直线x=-1的距离之和x₁+x₂+2
设直线方程为x=my+1，代入抛物线y²=4x，则y²=4（my+1），即y²-4my-4=0，
∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2=4m²+2
∴x₁+x₂+2=4m²+4≥4
∴A，B到直线x=-2的距离之和x₁+x₂+2+2≥6＞5
∴过焦点使得到直线x=-2的距离之和等于5的直线不存在
故选D．

点评：本题考查抛物线的定义，考查过焦点弦长的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．