Question

已知向量

m

=（sinA，cosA），

n

=（

3

，-1），（

m

-

n

）⊥

m

，且A为锐角．
（Ⅰ） 求角A的大小；
（Ⅱ） 求函数f（x）=cos2x+4cosAsinx（x∈R）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意得，利用两个向量的数量积的定义以及两个向量垂直的性质可得可得（

m

-

n

）•

m

=0，解得
sin（A-

π

6

） 的值，再由A为锐角求得A的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA=

1

2

，化简f（x）=

3

2

-2(sinx-

1

2

)2，由sinx∈[-1，1]，利用二次函数的性质求得
f（x）的最大值和最小值，即可求得所求函数f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）由题意得，向量

m

=（sinA，cosA），

n

=（

3

，-1），可得

m

•

n

=

3

sinA-cosA，
再由（

m

-

n

）⊥

m

，可得（

m

-

n

）•

m

=

m

2-

m

•

n

=1-

3

sinA+cosA=2sin（A-

π

6

）-1=0，
解得 sin（A-

π

6

）=

1

2

．
再由A为锐角得 A-

π

6

=

π

6

，故有A=

π

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA=

1

2

，所以f（x）=cos2x+2sinx=1-2sin²x+2sinx=

3

2

-2(sinx-

1

2

)2，
因为x∈R，所以sinx∈[-1，1]，因此，当sinx=

1

2

时，f（x）有最大值

3

2

，
当sinx=-1时，f（x）有最小值-3，所以所求函数f（x）的值域是[-3，

3

2

]．

点评：本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角
函数的单调性，二次函数的性质应用，属于中档题．