题目内容
(本小题满分12分)
已知函数为自然对数的底数).
当时,求的单调区间;若函数在上无零点,求最小值;
若对任意给定的,在上总存在两个不同的),使成立,求的取值范围.
(1) 的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,).
(2) 的最小值为.
(3) 时,对任意给定的,在上总存在两个不同的),使得成立。
解析试题分析:解:(I)当时,,则.由得;由得.故的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,).
(II)因为在区间上恒成立是不可能的,故要使函数在上无零点,只要对任意,恒成立.即对,恒成立.令,,则,再令,,则。故在为减函数,于是,从而,于是在上为增函数,所以,故要使恒成立,只要.综上可知,若函数在上无零点,则的最小值为
.
(III),所以在上递增,在上递减.又
,,所以函数在上的值域为.当时,不合题意;当时,, 。
当时,,由题意知,在上不单调,故,即。此时,当变化时,,的变化情况如下: