Question

【题目】已知函数f（x）=sin2x+2 sin2x+1﹣ ．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈[ ， ]时，若f（x）≥log2t恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=sin2x﹣ cos2x+1=2sin（2x﹣ ）+1，

∵ω=2，

∴函数f（x）最小正周期是T=π；

当2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2π+ ，k∈Z，

即kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，

函数f（x）单调递增区间为[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z

（2）解：∵x∈[ ， ]，

∴2x﹣ ∈[0， ]，

∴f（x）=2sin（2x﹣ ）+1的最小值为1，

由f（x）≥log2t恒成立，得log2t≤1=log22恒成立，

∴0＜t≤2，

即t的取值范围为（0，2]

【解析】（1）函数解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期，根据正弦函数的单调性即可确定出f（x）的单调递增区间；（2）由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出f（x）的最小值，根据f（x）≥log2t恒成立，得到log2t小于等于f（x）的最小值，即可确定出t的范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解两角和与差的正弦公式的相关知识，掌握两角和与差的正弦公式：，以及对正弦函数的单调性的理解，了解正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数．