Question

【题目】已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1，（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项an；
（2）设bn=nan+1 ， 求数列{bn}的前n项和Tn；
（3）设cn= ，求证：c1+c2+…+cn＜ ．（n∈N*）

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=1时，a1=S1=3，

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1，

∴数列{an}的通项an=

（2）解：由（1）可知bn=nan+1=n2n，

则Tn=121+222+323+…+n2n，

2Tn=122+223+…+（n﹣1）2n+n2n+1，

两式相减，得：﹣Tn=21+22+23+…+2n﹣n2n+1

=（1﹣n）2n+1﹣2，

∴Tn=2+（n﹣1）2n+1

（3）证明：由（1）可知cn= = ，

当n=1时，c1= ＜ ，

当n≥2时，c1+c2+…+cn= + + +…+

＜ + + +…+

= + + +…+

= ﹣

＜ ，

综上所述，c1+c2+…+cn＜ （n∈N*）

【解析】（1）当n≥2时利用an=Sn﹣Sn﹣1计算，进而可得通项公式；（2）通过（1）可知bn=n2n ， 进而利用错位相减法计算即得结论；（3）通过（1）可知数列{cn}的通项公式，分n=1与n≥2两种情况讨论即可，当n≥2时通过放缩cn= ＜ 即得结论．
【考点精析】利用数列的前n项和和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．