Question

【题目】如图所示的四棱锥中，底面为矩形， ， 的中点为, ，异面直线与所成的角为， 平面.

（1）证明： 平面；

（2）求二面角的余弦值的大小.

Answer 1

【答案】（1）见解析.（2）.

【解析】试题分析：（1）由已为矩形，可得为的中点.结合为的中点，根据三角形中位线定理可得， ，由线面平行的判定定理可得结果；（2）由（1）可知，所以或，先证明，可得，因为， ， 两两垂直，分别以， ， 所在直线为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，平面的一个法向量为，再求出平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

试题解析：（1）由已知为矩形，且，所以为的中点.

又因为为的中点，所以在中， ，又因为平面， 平面，

因此平面.

（2）由（1）可知，所以异面直线与所成的角即为 (或的补角).

所以或.

设，在中， ， ，又由平面可知，且为中点，因此，此时，所以，所以为等边三角形，所以，即，因为， ， 两两垂直，分别以， ， 所在直线为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则， ， ， ，所以， .

由， ， ，可得平面，可取平面的一个法向量为.

设平面的一个法向量为，由

令，所以.

因此 ，又二面角为锐角，故二面角的余弦值为.

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.