题目内容
(2013•淄博一模)在一个盒子中,放有大小相同的红、白、黄三个小球,从中任意摸出一球,若是红球记1分,白球记2分,黄球记3分.现从这个盒子中,有放回地先后摸得两球,所得分数分别记为x、y,设o为坐标原点,点p的坐标为(x-2),x-y),记ξ=|
|2.
(Ⅰ)求随机变量ξ的最大值,并求事件“ξ取得最大值”的概率;
(Ⅱ)求随机变量ξ的分布列和数学期望.
OP |
(Ⅰ)求随机变量ξ的最大值,并求事件“ξ取得最大值”的概率;
(Ⅱ)求随机变量ξ的分布列和数学期望.
分析:(Ⅰ)x,y可能的取值为1、2、3,仅有x=1,y=3或x=3,y=1时随机变量ξ的最大值为5,可得符合题意的基本事件有2个,而总的基本事有件3×3=9种,由古典概型可得概率;
(Ⅱ)ξ的所有的取值为0,1,2,5,同(1)的求法分别可求得概率,列表可得分布列,由期望的定义可得期望值.
(Ⅱ)ξ的所有的取值为0,1,2,5,同(1)的求法分别可求得概率,列表可得分布列,由期望的定义可得期望值.
解答:解:(Ⅰ)∵x,y可能的取值为1、2、3,∴|x-2|≤1,|y-x|≤2,
∴ξ=(x-2)2+(x-y)2≤5,当且仅当x=1,y=3或x=3,y=1时,ξ=5,
因此随机变量ξ的最大值为5,因为有放回摸两球所有情况有3×3=9种,
∴P(ξ=5)=
;
(Ⅱ)ξ的所有的取值为0,1,2,5
∵ξ=0时,只有x=2,y=2这一情况,
ξ=1时,有x=1,y=1,或x=2,y=1,或x=2,y=3或x=3,y=3四种情况,
ξ=2时,有x=1,y=2或x=3,y=2两种情况,
∴P(ξ=0)=
,P(ξ=1)=
,P(ξ=2)=
,
故随机变量ξ的分布列为:
因此数学期望Eξ=0×
+1×
+2×
+5×
=2
∴ξ=(x-2)2+(x-y)2≤5,当且仅当x=1,y=3或x=3,y=1时,ξ=5,
因此随机变量ξ的最大值为5,因为有放回摸两球所有情况有3×3=9种,
∴P(ξ=5)=
2 |
9 |
(Ⅱ)ξ的所有的取值为0,1,2,5
∵ξ=0时,只有x=2,y=2这一情况,
ξ=1时,有x=1,y=1,或x=2,y=1,或x=2,y=3或x=3,y=3四种情况,
ξ=2时,有x=1,y=2或x=3,y=2两种情况,
∴P(ξ=0)=
1 |
9 |
4 |
9 |
2 |
9 |
故随机变量ξ的分布列为:
ξ | 0 | 1 | 2 | 5 | ||||||||
P |
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1 |
9 |
4 |
9 |
2 |
9 |
2 |
9 |
点评:本题考查离散型随机变量及分布列,涉及数学期望的求解,属中档题.
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