Question

【题目】已知函数f（x）=ax﹣lnx﹣a（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a∈（0，+∞），x∈（1，+∞），证明：f（x）＜axlnx．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=a﹣ = ，

当a≤0时，ax﹣1＜0，从而f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；

当a＞0时，若0＜x＜ ，则ax﹣1＜0，从而f'（x）＜0，

若x＞ ，则ax﹣1＞0，从而f'（x）＞0，

函数在（0， ）单调递减，在（ ，+∞）单调递增

（2）解：令g（x）=f（x）﹣axlnx，a∈（0，+∞），x∈（1，+∞），

则g′（x）=﹣ ﹣alnx，g″（x）= ，

令g″（x）=0，解得：x= ，

① ≤1即a≥1时，g″（x）＜0，g′（x）在（1，+∞）递减，

g′（x）＜g′（1）=﹣1＜0，故g（x）在（1，+∞）递减，

g（x）＜g（1）=0，成立；

② ＞1即0＜a＜1时，

令g″（x）＞0，解得：1＜x＜ ，

令g″（x）＜0，解得：x＞ ，

故g′（x）在（1， ）递增，在（ ，+∞）递减，

∴g′（x）＜g′（ ）=2lna﹣a+1，

令h（a）=2lna﹣a+1，（0＜a＜1），

则h′（a）= ＞0，h（a）在（0，1）递增，

故h（a）＜h（1）=0，

故g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）递减，

g（x）＜g（1）=0，成立；

综上，a∈（0，+∞），x∈（1，+∞），f（x）＜axlnx

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）令g（x）=f（x）﹣axlnx，a∈（0，+∞），x∈（1，+∞），求出函数的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性证明即可．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．