题目内容

【题目】已知圆轴相切于点(0,3),圆心在经过点(2,1)与点(﹣2,﹣3)的直线上.

(1)求圆的方程;

(2)圆与圆相交于M、N两点,求两圆的公共弦MN的长.

【答案】(1);(2).

【解析】

(1)求出过点(2,1)与点(﹣2,﹣3)的直线的方程,又由条件得到圆心在直线y=3上,解方程组可得圆心的坐标,进而得到圆的半径,于是可得圆的方程;(2)将圆的方程化为一般式,与圆的方程作差后可得两圆公共弦所在直线的方程,然后求出圆心到公共弦的距离,进而可得公共弦的长.

(1)经过点(2,1)与点(﹣2,﹣3)的直线方程为

即y=x﹣1.

由题意可得,圆心在直线y=3上,

,解得圆心坐标为(4,3),

故圆C1的半径为4.

则圆C1的方程为(x﹣4)2+(y﹣3)2=16;

(2)∵圆C1的方程为(x﹣4)2+(y﹣3)2=16,

即x2+y2﹣8x﹣6y+9=0,

圆C2:x2+y2﹣2x+2y﹣9=0,

两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为3x+4y﹣9=0.

圆C1的圆心到直线3x+4y﹣9=0的距离d=

∴两圆的公共弦MN的长为

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