题目内容

【题目】如图，正四面体ABCD中，异面直线AB与CD所成的角为_______，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为_______．

【答案】90°

【解析】

取CD中点E，连接AE、BE，作AF⊥BE于点F，

空1：根据等腰三角形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行求解即可；

空2：根据线面垂直的性质和判定定理，结合线面角定义、锐角三角函数定义进行求解即可.

取CD中点E，连接AE、BE，作AF⊥BE于点F.

空1：因为，所以CD⊥AE，CD⊥BE，

AEBE＝E，平面ABE，∴CD⊥平面ABE，平面ABE，

∴CD⊥AB，∴异面直线AB与CD所成的角为90°；

空2：∵CD⊥平面ABE，平面ABE，∴CD⊥AF，又AF⊥BE，

平面BCD，∴AF⊥平面BCD，

∴∠ABF是直线AB与底面BCD所成角，

正四面体ABCD中，因为AF⊥平面BCD，所以点F是三角形BCD的中心，

设正四面体的棱长为a，所以

则．

故答案为：90°；

练习册系列答案
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（1）试完成下面的列联表，并判断能否有的把握认为“对游泳是否有兴趣与性别有关”？

有兴趣

没兴趣

合计

男生

女生

合计

（2）已知在被抽取的女生中有6名高一（1）班的学生，其中3名对游泳有兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳有兴趣的概率.

（3）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳有兴趣的学生中有部分曾在市级和市级以上游泳比赛中获奖，如下表所示.若从高一（8）班和高一（9）班获奖学生中各随机选取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.

班级

市级比赛

获奖人数

2

2

3

3

4

4

3

3

4

2

市级以上比赛获奖人数

2

2

1

0

2

3

3

2

1

2

0.500

0.400

0.250

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

.

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①求函数的定义域；

②求函数的零点个数.

（2）给出如下定义：如果是曲线和曲线的公共点，并且曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则称曲线与曲线在点处相切，点叫曲线和曲线的一个切点.试判断曲线：与曲线：是否在某点处相切？若是，求出所有切点的坐标；若不是，请说明理由.

【题目】如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．给出下列命题：

①存在点，使得//平面；

②对于任意的点，平面平面；

③存在点，使得平面；

④对于任意的点，四棱锥的体积均不变.

其中正确命题的序号是______．（写出所有正确命题的序号）.

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（1）若，求；

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