Question

【题目】如图，在三棱锥C﹣OAB中，CO⊥平面AOB，OA=OB=2OC=2，AB=2 ，D为AB的中点．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面COD；
（Ⅱ）若动点E满足CE∥平面AOB，问：当AE=BE时，平面ACE与平面AOB所成的锐二面角是否为定值？若是，求出该锐二面角的余弦值；若不是，说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）在三棱锥C﹣OAB中，CO⊥平面AOB，

∴CO⊥AB．

又OA=OB，D为AB的中点，

∴DO⊥AB

∵DO∩CO=O，

∴AB⊥平面COD．

（Ⅱ）∵OA=OB=2，AB=2 ，

∴AO⊥BO．

由CO⊥平面AOB，故以点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，OC所在的直线为z轴建立空间直角坐标系（如图），

由已知可得O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），D（1，1，0）．

由CE∥平面AOB，故设E（x，y，1）．

由AE=BE，得 ，

故x=y，即E（x，y，1），（x≠0）．

设平面ACE的法向量为 ，由 ， =（x，y，0），

得 ，令a=1，得 =（1，﹣1，2）．

又平面AOB的法向量为

∴cos＜ ＞= = ．

故平面ACE与平面AOB所成的锐二面角为定值，且该锐二面角的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出CO⊥AB，DO⊥AB．由此能证明AB⊥平面COD．（Ⅱ）以点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，OC所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ACE与平面AOB所成的锐二面角的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．