题目内容
【题目】如图所示，ABCD－A1B1C1D1是正方体，在图①中E，F分别是D1C1，B1B的中点，画出图①、②中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．
【答案】见解析
【解析】如图①所示，过点E作EN平行于BB1交CD于点N，连接NB并延长交EF的延长线于点M，连接AM，则AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．
如图②所示，延长DC，过点C1作C1M∥A1B交DC的延长线于点M，连接BM，则BM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．
证明：在图①中，因为直线EN∥BF，所以B、N、E、F四点共面，又
，因此EF与BN相交，设交点为M.因为M∈EF，且M∈NB，而EF平面AEF，NB平面ABCD，所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点．又因为点A是平面AEF和平面ABCD的公共点，故AM为两平面的交线．
在图②中，C1M在平面CDD1C1内，因此与DC的延长线相交，设交点为M，则点M为平面A1C1B与平面ABCD的公共点，又点B也是这两个平面的公共点，因此直线BM是两平面的交线．
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