题目内容
（2010•崇明县二模）已知函数f(x)=5-
，数列{an}满足：a1=a，an+1=f（an），n∈N*．
（1）若对于n∈N*，都有an+1=an成立，求实数a的值；
（2）若对于n∈N*，都有an+1＞an成立，求实数a的取值范围；
（3）设数列{bn}满足b1=
，bn+1=
．求证：当a为数列{bn}中的任意一项时，数列{an}必有相应一项的值为1．
| 6 |
| x |
（1）若对于n∈N*，都有an+1=an成立，求实数a的值；
（2）若对于n∈N*，都有an+1＞an成立，求实数a的取值范围；
（3）设数列{bn}满足b1=
| 3 |
| 2 |
| 6 |
| 5-bn |
分析：（1）利用an+1=an=a，可得方程，进而可求实数a的值；
（2）由于对于n∈N*，都有an+1＞an成立，故可建立不等式，从而有an＜0或2＜an＜3，再作分类讨论即可．
（3）由于数列{bn}满足b1=
，bn+1=
．所以：bn=5-
，不妨设bk=a，不断使用条件可证．
（2）由于对于n∈N*，都有an+1＞an成立，故可建立不等式，从而有an＜0或2＜an＜3，再作分类讨论即可．
（3）由于数列{bn}满足b1=
| 3 |
| 2 |
| 6 |
| 5-bn |
| 6 |
| bn+1 |
解答：解：（1）由an+1=an=a，得：a=
所以a=2或a=3（检验符合题意）
（2）由an+1＞an得，
＞an；
所以an＜0或2＜an＜3．
ⅰ）当a1＜0时，a2=5-
＞5；a3-a2=
＜0，不满足条件；
ⅱ）当2＜a1＜3时，a2=5-
∈(2，3)
同理a3∈（2，3），…an∈（2，3），
an+1-an=-
＞0
所以an+1＞an成立，满足题意．
综上，a∈（2，3）
（3）由于数列{bn}满足b1=
，bn+1=
．
所以：bn=5-
，不妨设bk=a，
a2=bk-1，
a3=bk-2；
…
ak= 5-
=b1=
；
ak+1=5-
=1．
所以结论成立．
| 5a-6 |
| a |
所以a=2或a=3（检验符合题意）
（2）由an+1＞an得，
| 5an-6 |
| an |
所以an＜0或2＜an＜3．
ⅰ）当a1＜0时，a2=5-
| 6 |
| a1 |
| (a2-3)(a2-2) |
| a2 |
ⅱ）当2＜a1＜3时，a2=5-
| 6 |
| a1 |
同理a3∈（2，3），…an∈（2，3），
an+1-an=-
| (an-3)(an-2) |
| an |
所以an+1＞an成立，满足题意．
综上，a∈（2，3）
（3）由于数列{bn}满足b1=
| 3 |
| 2 |
| 6 |
| 5-bn |
所以：bn=5-
| 6 |
| bn+1 |
a2=bk-1，
a3=bk-2；
…
ak= 5-
| 6 |
| ak-1 |
| 3 |
| 2 |
ak+1=5-
| 6 |
| b1 |
所以结论成立．
点评：本题的考点是数列与函数的综合．主要考查利用数列知识解决不等式问题，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．
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