Question

已知正数数列{a_n}中，a₁=2．若关于x的方程x2-（）x+=0（n∈N^×））对任意自然数n都有相等的实根．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）求证（n∈N^×）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意得△=a_n+1-2n-1=0，可得a₂=5，a₃=11．
（2）由于a_n+1=2a_n+1，所以数列a_n+1是以a₁+1=3为首项，公比为2的等比数列，知数列是以为首项，公比为的等比数列，于是可以证明．
解答：解：（1）由题意得△=a_n+1-2n-1=0，即a_n+1=2a_n+1，进而可得a₂=5，a₃=11．
（2）由于a_n+1=2a_n+1，所以a_n+1=2（a_n+1），因为a₁+1=3≠0，所以数列a_n+1是以a₁+1=3为首项，公比为2的等比数列，知数列是以为首项，公比为的等比数列，于是=．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．