Question

10．圆C₁：x²+y²-10x-10y=0与圆C₂：x²+y²+6x+2y-40=0相交于A，B两点．
（1）求公共弦AB的长度；
（2）求经过A，B两点且面积最小的圆的方程；
（3）实数x，y满足圆C₂的方程，且x-y-c≤0恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）两圆相减可得公共弦的方程，求出心到公共弦的距离，利用弦长公式，即可求得公共弦AB的长；
（2）求出圆心连线的方程，与4x+3y-10=0联立可得AB中点坐标为（1，2），可得经过A，B两点且面积最小的圆的方程；
（3）利用圆的参数方程，结合辅助角公式化简求最大值，即可求实数c的取值范围．

解答 解：（1）两圆相减可得公共弦的方程为4x+3y-10=0．
∵x²+y²-10x-10y=0的圆心坐标为（5，5），半径为5$\sqrt{2}$
∴圆心到公共弦的距离为d=$\frac{|20+15-10|}{5}$=5
∴AB=2$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}-{5}^{2}}$=10；
（2）圆C₁：x²+y²-10x-10y=0的圆心为（5，5），圆C₂：x²+y²+6x+2y-40=0的圆心为（-3，-1），
圆心连线的方程为3x-4y+5=0，
与4x+3y-10=0联立可得AB中点坐标为（1，2），
∴经过A，B两点且面积最小的圆的方程为（x-1）²+（y-2）²=25；
（3）圆C₂：x²+y²+6x+2y-40=0，可化为圆C₂：（x+3）²+（y+1）²=50，
设x=-3+5$\sqrt{2}$cosα，y=-1+5$\sqrt{2}$sinα，
∵x-y-c≤0恒成立，
∴c≥x-y恒成立，
x-y=-2+5$\sqrt{2}$（cosα-sinα）=-2+10cos（α+45°）的最大值为8，
∴c≥8．

点评 本题考查圆与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．