题目内容
【题目】已知函数f(x)=|x|+ ﹣1(x≠0)
(1)当m=1时,判断f(x)在(﹣∞,0)的单调性,并用定义证明;
(2)若对任意x∈(1,+∞),不等式 f(log2x)>0恒成立,求m的取值范围.
(3)讨论f(x)零点的个数.
【答案】
(1)
解:由当m=1,且x<0时,f(x)=﹣x+ ﹣1是单调递减的.
证明:设x1<x2<0,则
f(x1)﹣f(x2)=﹣x1+ ﹣1﹣(﹣x2+
﹣1)=x2﹣x1+
﹣
=(x2﹣x1)﹣ =(x2﹣x1)(1+
),
∵x1<x2<0,则x2﹣x1>0,x1x2>0,则有f(x1)﹣f(x2)>0,
f(x1)>f(x2)
则f(x)在(﹣∞,0)上为减函数
(2)
解:由 f(log2x)>0得|log2x|+ ﹣1>0,
当x∈(1,+∞),log2x>0,
则不等式变形为(log2x)2﹣log2x+m>0,
即m>﹣(log2x)2+log2x,
而g(x)=﹣(log2x)2+log2x=﹣(log2x﹣ )2+
,
当log2x= ,即x=
时,g(x)取得最大值
,
∴m> .
(3)
解:由f(x)=0可得x|x|﹣x+m=0,变为m=﹣x|x|+x,x≠0
令h(x)=x﹣x|x|=
作出函数h(x)的图象及直线y=m,由图象可得:
当m> 或m<﹣
时,f(x)有1个零点.
当m= 或m=0或m=﹣
时,f(x)有2个零点;
当0<m< 或﹣
<m<0时,f(x)有3个零点.
【解析】(1)f(x)在(﹣∞,0)上为减函数.运用函数的单调性的定义加以证明,注意取值、作差、变形和定符号、下结论几个步骤;(2)利用不等式恒成立,进行转化求解即可,(3)利用函数与方程的关系进行转化,利用参数分离法结合数形结合进行讨论即可.
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法的相关知识点,需要掌握单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较才能正确解答此题.
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