题目内容
【题目】在四棱锥中,
,
,
,
,
,
平面
,
.
()求二面角
的正弦值.
()设点
为线段
上一点,且直线
与平面
所成角的正弦值为
,求
的值.
【答案】()
.(
)
.
【解析】
先由题意得到两两垂直;以
为坐标原点,
方向分别为
轴,
轴,
轴正方向,建立空间直角坐标系;
(1)分别求出平面,平面
的法向量,根据向量夹角余弦值,即可求出结果;
(2)先设,
,根据题中条件,用
表示出
点坐标,再由线面角的正弦值,即可列出等式,求出结果.
因为,
平面
,所以,易得
两两垂直;以
为坐标原点,
方向分别为
轴,
轴,
轴正方向,建立如图所示空间直角坐标系;
则,
,
,
()因此
,
,
,
,
所以,故
,
又平面
,所以
,
因为,所以
平面
;
所以,平面的一个法向量为
,
设平面的法向量为
,
则即
,所以
令,则
,
,
,
∴二面角正弦值为
.
()设
,
,
直线与平面
所成角为
,
则,
即,
得:,
,
,
∴,
∴,
,
,
得,
∴.
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