Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为

2

．
（1）设侧棱长为1，求证：AB₁⊥BC₁；
（2）设AB₁与BC₁的夹角为

π

3

，求侧棱的长．

Answer 1

分析：（1）取BC中点D，连接AD，B₁D，得面ABC⊥面BCC₁B₁．再利用直线与平面垂直的判定定理得出AD⊥面BCC₁B₁于是Rt△CBC₁与Rt△BB₁D相似，最后得AB₁⊥BC₁；
（2）取BC₁的中点D，AC的中点E，连DE，则DE∥AB₁，∠EDB即为A B₁与B C₁成

π

3

角，利用等边三角形EDB中，BD的长，从而得出侧棱的长．

解答：解：（1）取BC中点D，连接AD，B₁D，
由正三棱锥ABC-A₁B₁C₁，得面ABC⊥面BCC₁B₁．
又D为三角形ABC的边BC的中点，故
AD⊥BC，于是AD⊥面BCC₁B₁
在矩形BCC₁B₁中，BC=

2

，BB₁=1，
于是Rt△CBC₁与Rt△BB₁D相似，
∠CBC₁=∠BB₁D，BC₁⊥DB₁
得AB₁⊥BC₁

（2）取BC₁的中点D，AC的中点E，连DE，则DE∥AB₁，∠EDB即为A B₁与B C₁成60⁰角，
∴∠EDB=60°，在等边三角形EDB中，BD=BE=

6

2

，
∴BC₁=2BD=

6

，?BB₁=

6-2

=2
∴侧棱长为2（14分）

点评：本小题主要考查棱柱的结构特征、直线与平面的位置关系、异面直线所成的角等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题．