Question

【题目】过直角坐标平面xOy中的抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点．

(1)用p表示线段AB的长；

(2)若，求这个抛物线的方程．

Answer 1

【答案】（1）4p（2）y2＝4x.

【解析】试题分析：（1）先根据点斜式写出直线方程，再与抛物线联立方程组，利用韦达定理得两根之和，最后根据抛物线定义求线段AB的长；（2）先根据向量数量积化简，再根据点斜式设直线方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理代入关系式，解出p

试题解析：解：(1)抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线方程是y＝x－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立

得x2－3px＋＝0，∴x1＋x2＝3p，x1x2＝，∴AB＝x1＋x2＋p＝4p.

(2)由(1)知x1x2＝，x1＋x2＝3p，

∴y1y2＝＝x1x2－ (x1＋x2)＋＝－＋＝－p2，

∴OA―→·OB―→＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－＝－3，

解得p2＝4，

∴p＝2.

∴这个抛物线的方程为y2＝4x.