题目内容
【题目】在圆上任取一点
,过点
向
轴作垂线段
,垂足为
,当点
在圆上运动时,线段
的中点
的轨迹为
.
(1)求曲线的方程;
(2)过点(0,-2)作直线
与
交于
两点,(O为原点),求三角形
面积的最大值,并求此时的直线
的方程.
【答案】(1) (2)最大面积为1,
方程为
【解析】
(1)利用代入法求曲线的方程.(2)先求出三角形
面积的解析式和k的范围,再求其最大值和此时直线的方程.
(1)设M(x,y)是曲线C上任一点,
因为PQ⊥x轴,M是PQ的中点,所以点P的坐标为(x,2y).
因为点P在圆x2+y2=4上,所以x2+(2y)2=4.
所以曲线C的方程是+y2=1.
(2当直线l的斜率不存在时显然不符合题意;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx-2,与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
由得(1+4k2)x2-16kx+12=0,
由Δ=162k2-48(1+4k2)>0,得k2>.
所以x1+x2=,x1x2=
.
因为S△OAB=|OD||x1-x2|=|x1-x2|=
=4.令4k2-3=t,则4k2=t+3(由上可知t>0),
SOANB=4=4
,
当且仅当t=4,即k2=时取等号;
所以当k=±时三角形OAB面积的最大值为1,
此时直线l的方程为y=±x-2.
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