Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣4x=0及点A（﹣1，0），B（1，2）

（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；
（2）在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2=4，所以圆心C（2，0），半径为2．

因为l∥AB，A（﹣1，0），B（1，2），所以直线l的斜率为 ，

设直线l的方程为x﹣y+m=0，

则圆心C到直线l的距离为 ．

因为 ，

而 ，所以 ，

解得m=0或m=﹣4，

故直线l的方程为x﹣y=0或x﹣y﹣4=0．

（2）解：假设圆C上存在点P，设P（x，y），则（x﹣2）2+y2=4，

PA2+PB2=（x+1）2+（y﹣0）2+（x﹣1）2+（y﹣2）2=12，

即x2+y2﹣2y﹣3=0，即x2+（y﹣1）2=4，

因为 ，

所以圆（x﹣2）2+y2=4与圆x2+（y﹣1）2=4相交，

所以点P的个数为2

【解析】（1）求出圆心C到直线l的距离，利用勾股定理建立方程，即可求直线l的方程；（2）求出P的轨迹方程，利用两圆的位置关系，即可得出结论．