Question

【题目】已知a≥3，函数F（x）=min{2|x﹣1|，x2﹣2ax+4a﹣2}，其中min（p，q）=
（1）求使得等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围
（2）（1）求F（x）的最小值m（a）
（3）求F（x）在[0，6]上的最大值M（a）

Answer 1

【答案】
（1）

由a≥3，故x≤1时，

x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x2+2（a﹣1）（2﹣x）＞0；

当x＞1时，x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x2﹣（2+2a）x+4a=（x﹣2）（x﹣2a），

则等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围是（2，2a）

（2）

（1）设f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2，

则f（x）min=f（1）=0，g（x）min=g（a）=﹣a2+4a﹣2．

由﹣a2+4a﹣2=0，解得a=2+ （负的舍去），

由F（x）的定义可得m（a）=min{f（1），g（a）}，

即m（a）=

（3）

当0≤x≤2时，F（x）≤f（x）≤max{f（0），f（2）}=2=F（2）；

当2＜x≤6时，F（x）≤g（x）≤max{g（2），g（6）}

=max{2，34﹣8a}=max{F（2），F（6）}．

则M（a）=

【解析】（1）由a≥3，讨论x≤1时，x＞1，去掉绝对值，化简x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|，判断符号，即可得到F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围；（2）（1）设f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2，求得f（x）和g（x）的最小值，再由新定义，可得F（x）的最小值；（2）分别对当0≤x≤2时，当2＜x≤6时，讨论F（x）的最大值，即可得到F（x）在[0，6]上的最大值M（a）．本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论的思想方法，以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的最值及其几何意义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．