题目内容
【题目】已知圆的方程为
,直线
的方程为
,点
在直线
上,过点
作圆
的切线
,切点为
.
(1)若点的坐标为
,求切线
的方程;
(2)求四边形面积的最小值;
(3)求证:经过三点的圆必过定点,并求出所有定点坐标.
【答案】(1)或
(2)
(3)见解析
【解析】试题分析:(1)解:①当切线斜率不存在时,切线方程为;②当切线斜率存在时,设切线方程为
,根据直线和圆相切,求得
,即可得到直线的方程;
(2)由四边形的面积
,得到当
最小时,四边形的面积
最小,转化为点到直线的距离,即可求解,即可求解面积的最小值.
(3)设点,得到圆心坐标是
,进而得到圆的方程,利用圆系方程,进而可判定经过
三点的圆必过定点.
试题解析:
(1)①当切线斜率不存在时,切线方程为;
②当切线斜率存在时,设切线方程为,
因为直线和圆相切,所以圆心到切线的距离
,解得
,
所以切线方程为,即
.
故所求切线方程为或
.
(2)四边形的面积
,
所以当最小时,四边形
的面积
最小.
又的最小值是圆心
到直线
的距离,
即.
所以四边形的面积最小值是
.
(3)证明:过三点的圆即以
为直径的圆,
设点,则圆心坐标是
,
以为直径的圆的方程是
,
化简,得,
即.(*)
令,解得
或
.
由于不论为何值,点
、
的坐标都适合方程(*),所以经过
三点的圆必过定点,定点坐标是
和
.
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