题目内容
【题目】如图，四棱锥
的底面
是边长为2的菱形，平面
平面，
，
，
分别是棱
，
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）若
，求
与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）连接
，交
于点
，可证明
，
.从而有
平面
.
同理，
平面.得面面平行后可得线面平行；
（2）以
，
，
所在直线为
，
，
轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的一个法向量，由空间向量法求得线面角的正弦值．
（1）连接，交于点，连接
，
.
由四边形
是菱形知是、中点.
因为
，
分别是棱
，
的中点，所以，.
又因为
平面，
平面，所以平面.
同理，平面.
因为
，所以平面
平面，
因为
平面
，所以
平面.
（2）因为
，
，是中点，所以
，
，
因为平面
平面，两平面的交线为，所以
平面，
因为是菱形，边长为2，所以
，
，
，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
设平面的一个法向量为
，则
所以
，取
，则
，
所以
，
所以直线
与平面所成角的正弦值为.
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