题目内容
【题目】已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)证明:若,则对于任意,不等式恒成立.
【答案】(1)详见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)求定义域,求导,再分类讨论得导数符号,从而得出函数的单调性;
(2)原不等式即,变形为,只需证恒成立;设函数,,结合导数易得,,由,得,从而得出证明.
(1)解:函数的定义域为,,
①当时,,则在内单调递减;
②当时,由得,,解得,由得,,则在内单调递减,在内单调递增;
③当时,,则,则在内单调递减;
④当时,由得,,解得,或,由得,,则在,内单调递减,在内单调递增;
综上:当时,在内单调递减;在内单调递增;
当时,在内单调递减;
当时,在,内单调递减,在内单调递增;
(2)证明:原不等式即,变形为,
∴只需证恒成立,
设函数,,
因为,易得在单调递增,在上单调递减,
所以,
,在单调递减,在上单调递增,
所以,
因为,所以,即在内恒成立,
∴若,则对于任意,不等式.
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