题目内容

【题目】已知函数

1)讨论函数的单调性;

2)证明:若,则对于任意,不等式恒成立.

【答案】1)详见解析;(2)证明见解析.

【解析】

1)求定义域,求导,再分类讨论得导数符号,从而得出函数的单调性;

2)原不等式即,变形为,只需证恒成立;设函数,结合导数易得,由,得,从而得出证明.

1)解:函数的定义域为

①当时,,则内单调递减;

②当时,由得,,解得,由得,,则内单调递减,在内单调递增;

③当时,,则,则内单调递减;

④当时,由得,,解得,或,由得,,则内单调递减,在内单调递增;

综上:当时,内单调递减;在内单调递增;

时,内单调递减;

时,内单调递减,在内单调递增;

2)证明:原不等式即,变形为

∴只需证恒成立,

设函数

因为,易得单调递增,在上单调递减,

所以

单调递减,在上单调递增,

所以

因为,所以,即内恒成立,

∴若,则对于任意,不等式

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