题目内容
已知A，B，C是坐标平面内不共线的三点，o是坐标原点，动点P满足
=
[(1-λ)
+(1-λ)
+(1+2λ)
]（λ∈R），则点P的轨迹一定经过△ABC的（ ）
| OP |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| OB |
| OC |
| A、内心 | B、垂心 | C、外心 | D、重心 |
分析：根据向量的加法的平行四边形法则向量的运算法则，对
=
[(1-λ)
+(1-λ)
+(1+2λ)
]进行化简，得到
+
，根据三点共线的充要条件知道P、C、D三点共线，从而得到点P的轨迹一定经过△ABC的重心．
| OP |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| OB |
| OC |
| 2(1-λ) |
| 3 |
| OD |
| 1+2λ |
| 3 |
| OC |
解答：解：去AB的中点D，则2
=
+
∵
=
[(1-λ)
+(1-λ)
+(1+2λ)
]
∴
=
[(1-λ)(2
)+(1+2λ)
]
=
+
，
而
+
=1，
∴P、C、D三点共线，
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心．
故选D．
| OD |
| OA |
| OB |
∵
| OP |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| OB |
| OC |
∴
| OP |
| 1 |
| 3 |
| OD |
| OC |
=
| 2(1-λ) |
| 3 |
| OD |
| 1+2λ |
| 3 |
| OC |
而
| 2(1-λ) |
| 3 |
| 1+2λ |
| 3 |
∴P、C、D三点共线，
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心．
故选D．
点评：此题是个中档题．考查向量的加法法则和运算法则，以及三点共线的充要条件，和三角形的五心问题，综合性强，体现了数形结合的思想．
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