题目内容
如图,正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点E为AB上一点

(I) 当点E为AB的中点时,求证;BD1//平面A1DE
(II)求点A1到平面BDD1的距离;
(III) 当
时,求二面角D1-EC-D的大小.

(I) 当点E为AB的中点时,求证;BD1//平面A1DE
(II)求点A1到平面BDD1的距离;
(III) 当

(1)略 (2)A1到面BDD1的距离为
(3)D1-EC-D的大小为


(I) 要证BD1//平面A1DE,只要证明BD1平行该面内的一条直线,取中点,由中位线可证得;(II)等积法求高;(III)可以用传统法找出平面角也可以向量法求。
解法一:(I)证明:连结AD1交A1D于F,则F为中点,连结EF,如图.

∵ E为中点,∴ EF//BD1.又EF
面A1DE,BD1
面A1DE,
∴ BD1//面A1DE.……………3分
(II)在Rt△ABD中,AB=2AD=2,可得BD=
,
∴
,
,
设A1到面BDD1的距离为d,则由
有
,即
,解得
,
即A1到面BDD1的距离为
.……………………………………………8分
(III)连结EC.由
,有
,
,
过D作DH⊥EC于H,连结D1H,由已知面AA1D1D⊥面ABCD且DD1⊥AD,
∴DD1⊥面ABCD.由三垂线定理知:D1H⊥EC,∴ ∠DHD1为D1-EC-D的平面角.
Rt△EBC中,由
,BC=1,得
.又DH·EC=DC·BC,代入解得
,
∴在Rt△DHD1中,
.∴
,即二面角D1-EC-D的大小为
.…………12分
解法二:(I)同解法一.………………3分
(II)由面ABCD⊥面ADD1A,且四边形AA1D1D为正方形,四边形ABCD为矩形,可得D1D⊥AD,D1D⊥DC,DC⊥DA.
于是以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

由AB=2AD=2知:D(0,0,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1),B(1,2,0),
∴
=(1,2,0),
=(0,0,1),
=(0,2,-1).设面BDD1的一个法向量为n1
,
则
即
∴
.
∴ 点A1到面BDD1的距离
. …………………………8分
(III)由(II)及题意知:E(1,
,0),C(0,2,0),
,
.
设面D1EC的一个法向量为
,
则
即
可得
.
又易知面DEC的一个法向量是
(0,0,1),
设D1-EC-D的大小为θ,则
,得
.
即D1-EC-D的大小为
解法一:(I)证明:连结AD1交A1D于F,则F为中点,连结EF,如图.

∵ E为中点,∴ EF//BD1.又EF


∴ BD1//面A1DE.……………3分
(II)在Rt△ABD中,AB=2AD=2,可得BD=

∴


设A1到面BDD1的距离为d,则由




即A1到面BDD1的距离为

(III)连结EC.由



过D作DH⊥EC于H,连结D1H,由已知面AA1D1D⊥面ABCD且DD1⊥AD,
∴DD1⊥面ABCD.由三垂线定理知:D1H⊥EC,∴ ∠DHD1为D1-EC-D的平面角.
Rt△EBC中,由



∴在Rt△DHD1中,



解法二:(I)同解法一.………………3分
(II)由面ABCD⊥面ADD1A,且四边形AA1D1D为正方形,四边形ABCD为矩形,可得D1D⊥AD,D1D⊥DC,DC⊥DA.
于是以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

由AB=2AD=2知:D(0,0,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1),B(1,2,0),
∴




则



∴ 点A1到面BDD1的距离

(III)由(II)及题意知:E(1,



设面D1EC的一个法向量为

则



又易知面DEC的一个法向量是

设D1-EC-D的大小为θ,则


即D1-EC-D的大小为


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